ProgettoLampedusa

##I Rimbalzi Nel Basket

Con questo report ci siamo interessati allo studio di un modello lienare predittivo per le vittorie, basato sul numero di rimbalzi annuali effettuati dalle squadre nel campionato NBA.
vengono prese in considerazione solo le squadre con almeno 82 partite disputate, con riferimento agli anni dal 1976 al 2011.

La previsione del modello lineare e’ basata sull’uso di coefficienti ideati per essere il piu possibile significativi e conforme alla nostra idea di incidenza sulle vittorie di certe variabili riespetto ad altre.

I dettagli su come eseguire il programma e utilizzare la funzione predittiva si trovano direttamente di seguito, assieme al processo di realizzazione e verifica del modello stesso.

library(here)
library(corrplot)
library(nortest)
library(lmtest)
library(car)
library(plotly)
library(heatmaply)
library(ggheatmap)
library(ggplot2)
library(viridis)
library(glmnet)
library(highcharter)
library(reshape2)
library(RColorBrewer)
library(tidyr)
library(dplyr)


knitr::opts_knit$set(root.dir = here("0_Materiale"))

Progetto numero 5

NBA moderna (1976-2011): VARIABILE DIPENDENTE: numero di vittorie in stagione COVARIATE: tutte le altre (o uno specifico insieme di queste, in base all’obiettivo di analisi) Considerare solo le squadre che hanno giocato 82 partite (dataset$games==82)

INIZIALIZZAZIONE DATI E GRAFICI DATI

dataset <- read.delim("basketball_teams.txt") # andiamo a leggere il database fornito

FIRST <- 1976 # primo anno del range da considerare per lo studio
LAST <- 2011 # ultimo anno del range da considerare per lo studio

df <- dataset [dataset$lgID=="NBA" & dataset$year >= FIRST & dataset$year <= LAST & dataset$games==82,]

dataset$lgID <- as.factor(dataset$lgID) # perchè mi permettono di poter generare variabili dummy

summary(df)

##       year          lgID               tmID             franchID        
##  Min.   :1976   Length:841         Length:841         Length:841        
##  1st Qu.:1985   Class :character   Class :character   Class :character  
##  Median :1993   Mode  :character   Mode  :character   Mode  :character  
##  Mean   :1993                                                           
##  3rd Qu.:2001                                                           
##  Max.   :2008                                                           
##     confID             divID                rank          confRank     
##  Length:841         Length:841         Min.   :0.000   Min.   : 1.000  
##  Class :character   Class :character   1st Qu.:2.000   1st Qu.: 4.000  
##  Mode  :character   Mode  :character   Median :3.000   Median : 7.000  
##                                        Mean   :3.565   Mean   : 7.164  
##                                        3rd Qu.:5.000   3rd Qu.:10.000  
##                                        Max.   :8.000   Max.   :15.000  
##    playoff              name               o_fgm          o_fga     
##  Length:841         Length:841         Min.   :2565   Min.   :5972  
##  Class :character   Class :character   1st Qu.:2981   1st Qu.:6592  
##  Mode  :character   Mode  :character   Median :3220   Median :6903  
##                                        Mean   :3239   Mean   :6941  
##                                        3rd Qu.:3489   3rd Qu.:7253  
##                                        Max.   :3980   Max.   :8868  
##      o_ftm          o_fta          o_3pm           o_3pa            o_oreb    
##  Min.   :1189   Min.   :1475   Min.   :  0.0   Min.   :   0.0   Min.   : 720  
##  1st Qu.:1523   1st Qu.:2039   1st Qu.: 78.0   1st Qu.: 293.0   1st Qu.: 974  
##  Median :1649   Median :2201   Median :283.0   Median : 814.0   Median :1083  
##  Mean   :1666   Mean   :2212   Mean   :279.1   Mean   : 804.6   Mean   :1086  
##  3rd Qu.:1797   3rd Qu.:2371   3rd Qu.:445.0   3rd Qu.:1267.0   3rd Qu.:1191  
##  Max.   :2388   Max.   :3051   Max.   :837.0   Max.   :2283.0   Max.   :1520  
##      o_dreb         o_reb          o_asts          o_pf          o_stl       
##  Min.   :2044   Min.   :2922   Min.   :1422   Min.   :1476   Min.   : 455.0  
##  1st Qu.:2348   1st Qu.:3381   1st Qu.:1760   1st Qu.:1777   1st Qu.: 613.0  
##  Median :2433   Median :3506   Median :1934   Median :1900   Median : 671.0  
##  Mean   :2434   Mean   :3520   Mean   :1934   Mean   :1909   Mean   : 681.3  
##  3rd Qu.:2527   3rd Qu.:3647   3rd Qu.:2094   3rd Qu.:2033   3rd Qu.: 746.0  
##  Max.   :2966   Max.   :4216   Max.   :2575   Max.   :2470   Max.   :1059.0  
##       o_to          o_blk           o_pts           d_fgm          d_fga     
##  Min.   : 910   Min.   :204.0   Min.   : 6901   Min.   :2488   Min.   :5638  
##  1st Qu.:1207   1st Qu.:360.0   1st Qu.: 7958   1st Qu.:2978   1st Qu.:6593  
##  Median :1311   Median :411.0   Median : 8404   Median :3243   Median :6911  
##  Mean   :1338   Mean   :421.8   Mean   : 8423   Mean   :3239   Mean   :6941  
##  3rd Qu.:1443   3rd Qu.:473.0   3rd Qu.: 8879   3rd Qu.:3493   3rd Qu.:7268  
##  Max.   :2011   Max.   :716.0   Max.   :10371   Max.   :4265   Max.   :8142  
##      d_ftm          d_fta           d_3pm            d_3pa          d_oreb    
##  Min.   :1217   Min.   :  0.0   Min.   :   0.0   Min.   :1579   Min.   : 745  
##  1st Qu.:1514   1st Qu.: 82.0   1st Qu.: 282.0   1st Qu.:2033   1st Qu.: 986  
##  Median :1648   Median :280.0   Median : 836.0   Median :2203   Median :1095  
##  Mean   :1666   Mean   :279.1   Mean   : 804.6   Mean   :2212   Mean   :1086  
##  3rd Qu.:1808   3rd Qu.:446.0   3rd Qu.:1251.0   3rd Qu.:2395   3rd Qu.:1177  
##  Max.   :2377   Max.   :683.0   Max.   :1768.0   Max.   :3071   Max.   :1495  
##      d_dreb         d_reb          d_asts          d_pf          d_stl      
##  Min.   :2012   Min.   :2976   Min.   :1336   Min.   :1434   Min.   :461.0  
##  1st Qu.:2326   1st Qu.:3378   1st Qu.:1778   1st Qu.:1788   1st Qu.:623.0  
##  Median :2431   Median :3497   Median :1939   Median :1900   Median :677.0  
##  Mean   :2434   Mean   :3520   Mean   :1934   Mean   :1909   Mean   :681.3  
##  3rd Qu.:2529   3rd Qu.:3653   3rd Qu.:2092   3rd Qu.:2020   3rd Qu.:734.0  
##  Max.   :3067   Max.   :4309   Max.   :2537   Max.   :2453   Max.   :955.0  
##       d_to          d_blk           d_pts        o_tmRebound  d_tmRebound
##  Min.   : 949   Min.   :264.0   Min.   : 6909   Min.   :0    Min.   :0   
##  1st Qu.:1208   1st Qu.:380.0   1st Qu.: 7968   1st Qu.:0    1st Qu.:0   
##  Median :1304   Median :419.0   Median : 8453   Median :0    Median :0   
##  Mean   :1338   Mean   :421.8   Mean   : 8423   Mean   :0    Mean   :0   
##  3rd Qu.:1444   3rd Qu.:460.0   3rd Qu.: 8841   3rd Qu.:0    3rd Qu.:0   
##  Max.   :1980   Max.   :654.0   Max.   :10723   Max.   :0    Max.   :0   
##     homeWon         homeLost        awayWon         awayLost        neutWon 
##  Min.   : 6.00   Min.   : 1.00   Min.   : 1.00   Min.   : 8.00   Min.   :0  
##  1st Qu.:21.00   1st Qu.:10.00   1st Qu.:10.00   1st Qu.:21.00   1st Qu.:0  
##  Median :26.00   Median :15.00   Median :15.00   Median :26.00   Median :0  
##  Mean   :25.63   Mean   :15.37   Mean   :15.37   Mean   :25.63   Mean   :0  
##  3rd Qu.:31.00   3rd Qu.:20.00   3rd Qu.:20.00   3rd Qu.:31.00   3rd Qu.:0  
##  Max.   :40.00   Max.   :35.00   Max.   :33.00   Max.   :40.00   Max.   :0  
##     neutLoss    confWon         confLoss         divWon         divLoss     
##  Min.   :0   Min.   : 5.00   Min.   : 7.00   Min.   : 1.00   Min.   : 1.00  
##  1st Qu.:0   1st Qu.:20.00   1st Qu.:20.00   1st Qu.: 8.00   1st Qu.: 9.00  
##  Median :0   Median :27.00   Median :26.00   Median :12.00   Median :12.00  
##  Mean   :0   Mean   :26.91   Mean   :26.91   Mean   :12.27   Mean   :12.27  
##  3rd Qu.:0   3rd Qu.:34.00   3rd Qu.:33.00   3rd Qu.:16.00   3rd Qu.:16.00  
##  Max.   :0   Max.   :48.00   Max.   :52.00   Max.   :25.00   Max.   :27.00  
##       pace             won          lost        games         min       
##  Min.   :  0.00   Min.   :11   Min.   :10   Min.   :82   Min.   :19680  
##  1st Qu.:  0.00   1st Qu.:31   1st Qu.:32   1st Qu.:82   1st Qu.:19780  
##  Median :  0.00   Median :42   Median :40   Median :82   Median :19805  
##  Mean   :  6.71   Mean   :41   Mean   :41   Mean   :82   Mean   :19817  
##  3rd Qu.:  0.00   3rd Qu.:50   3rd Qu.:51   3rd Qu.:82   3rd Qu.:19855  
##  Max.   :102.00   Max.   :72   Max.   :71   Max.   :82   Max.   :20080  
##     arena             attendance       bbtmID         
##  Length:841         Min.   :    0   Length:841        
##  Class :character   1st Qu.:32767   Class :character  
##  Mode  :character   Median :32767   Mode  :character  
##                     Mean   :32728                     
##                     3rd Qu.:32767                     
##                     Max.   :32767

#STUDIO DATI RELATIVI AI RIMBALZI

# o_oreb = Rimbalzi ottenuti in attacco
# o_dreb = Rimbalzi subiti in attacco
# o_reb  = totale rimbalzi in attacco
# d_oreb = Rimbalzi subiti in difesa
# d_dreb = Rimbalzi ottenuti in difesa
# d_reb  = totale rimbalzi in difesa

df_reb <- subset(df, select = c("o_oreb", "o_dreb", "o_reb", "d_oreb", "d_dreb", "d_reb", "won"))
  
par(mfrow = c(2, 3))  # Imposta il layout a 2 righe e 3 colonne

for (variables in 1:(dim(df_reb)[2]-1)){
  thisvar = df_reb[,variables]
  d <- density(thisvar)
  xmin <- floor(min(thisvar))
  xmax <- ceiling(max(thisvar))
  
  # Crea il plot della densità con stile accattivante
  plot(d, main = names(df_reb)[variables], xlab = "", col = "skyblue", lwd = 1, xlim = c(xmin, xmax), ylim = c(0, max(d$y)*1.1))

  # Aggiungi la distribuzione normale teorica ideale in rosso
  x <- seq(xmin, xmax, length = 100)
  lines(x, dnorm(x, mean = mean(thisvar), sd = sd(thisvar)), col = "red", lwd = 1)

  # Aggiungi griglia per migliorare la leggibilità
  grid()
}

# Aggiungi titolo
title("Density plots with Normal Distribution", line = -17, cex.main = 2, outer = TRUE)

#GRAFICO INTUITIVO DA TESTARE


# Imposta il layout a 2 righe e 3 colonne
#par(mfrow = c(2, 3))

# Lista per salvare i plot interattivi
#plot_list <- list()

#for (variables in 1:(dim(df_reb)[2])) {
#  thisvar <- df_reb[, variables]
#  d <- density(thisvar)
#  xmin <- floor(min(thisvar))
#  xmax <- ceiling(max(thisvar))
  
  # Crea il plot della densità con plot_ly
#  p <- plot_ly(x = d$x, y = d$y, type = "scatter", mode = "lines", line = list(color = "skyblue", width = 1),
#               name = names(df_reb)[variables]) %>%
#    add_trace(x = x, y = dnorm(x, mean = mean(thisvar), sd = sd(thisvar)), type = "scatter", mode = "lines",
#              line = list(color = "red", width = 1), name = "Normal Distribution") %>%
#    layout(title = names(df_reb)[variables])

  # Aggiungi il plot alla lista
#  plot_list[[variables]] <- p
#}

# Aggiungi titolo
#title("Density plots with Normal Distribution", line = -17, cex.main = 2, outer = TRUE)

# Visualizza i plot interattivi
#subplot(plot_list)








#verifica della presenza zeri nel dataset
print(paste("Percentage non-zero o_oreb: ",round(length(which(df_reb$o_oreb>0)) /dim(df_reb)[1]*100,2)))

## [1] "Percentage non-zero o_oreb:  100"

print(paste("Percentage non-zero o_dreb: ",round(length(which(df_reb$o_dreb>0)) /dim(df_reb)[1]*100,2)))

## [1] "Percentage non-zero o_dreb:  100"

print(paste("Percentage non-zero o_reb: ",round(length(which(df_reb$o_reb>0)) /dim(df_reb)[1]*100,2)))

## [1] "Percentage non-zero o_reb:  100"

print(paste("Percentage non-zero d_oreb: ",round(length(which(df_reb$d_oreb>0)) /dim(df_reb)[1]*100,2)))

## [1] "Percentage non-zero d_oreb:  100"

print(paste("Percentage non-zero d_dreb: ",round(length(which(df_reb$d_dreb>0)) /dim(df_reb)[1]*100,2)))

## [1] "Percentage non-zero d_dreb:  100"

print(paste("Percentage non-zero d_reb: ",round(length(which(df_reb$d_reb>0)) /dim(df_reb)[1]*100,2)))

## [1] "Percentage non-zero d_reb:  100"

#STUDIO SULLE VITTORIE

M <- cor(as.matrix(df[, c(11:25, 54)])) # correlation matrix
corrplot(M, method="color", outline = TRUE,type="lower",order = "hclust",
        tl.col="black", tl.srt=45, diag=FALSE,tl.cex = 1,mar=c(0,0,3,0),
        title="Correlation Matrix between Predictor and Outcome variables")

#ISTOGRAMMA
# Crea un istogramma di base
hist(df$won, col = "skyblue", border = "white", main = "Distribuzione delle Vittorie", xlab = "Numero di Vittorie", ylab = "Frequenza")

# Aggiungi una griglia di sfondo
grid()

# Aggiungi una linea di riferimento
abline(v = mean(df$won), col = "red", lwd = 2)

# Aggiungi una legenda
legend("topright", legend = c("Media"), col = c("red"), lwd = 2)

#ISTOGRAMMA INTERATTIVO DA TESTARE 1° versione

# Crea un istogramma con plot_ly
histogram <- plot_ly(df, x = ~won, type = "histogram", marker = list(color = "skyblue", line = list(color = "white", width = 0.5))) %>%
  layout(title = "Distribuzione delle Vittorie",
         xaxis = list(title = "Numero di Vittorie"),
         yaxis = list(title = "Frequenza"),
         barmode = "overlay") %>%
  add_trace(x = ~mean(won), type = "scatter", mode = "lines", line = list(color = "red", width = 2), name = "Media")

# Visualizza l'istogramma interattivo
histogram

## A marker object has been specified, but markers is not in the mode
## Adding markers to the mode...

#ISTOGRAMMA INTERATTIVO DA TESTARE 2° versione

# Crea un istogramma con plot_ly
histogram <- plot_ly(df, x = ~won, type = "histogram", 
                     marker = list(color = "skyblue", line = list(color = "white", width = 0.5)),
                     opacity = 0.7) %>%
  layout(title = list(text = "Distribuzione delle Vittorie", x = 0.5),
         xaxis = list(title = "Numero di Vittorie", zeroline = FALSE),
         yaxis = list(title = "Frequenza", zeroline = FALSE),
         barmode = "overlay") %>%
  add_trace(x = ~mean(won), type = "scatter", mode = "lines", 
            line = list(color = "red", width = 2), name = "Media") %>%
  add_trace(x = ~mean(won), type = "scatter", mode = "markers", 
            marker = list(color = "red", size = 8), showlegend = FALSE) %>%
  add_annotations(text = sprintf("Media: %.2f", mean(df$won)), x = mean(df$won), y = 0, 
                  arrowhead = 2, arrowcolor = "red", arrowsize = 1.5, arrowwidth = 2, 
                  ax = 0, ay = -40, xshift = 10, yshift = -10)

# Visualizza l'istogramma interattivo
histogram

## A marker object has been specified, but markers is not in the mode
## Adding markers to the mode...

# PLOT DENSITA

density_plot <- density(df$won)

# Plot di base
plot(density_plot, main = "Distribuzione di Densità delle Vittorie", col = "skyblue", lwd = 2, ylim = c(0, 0.07), xlim = c(0, max(df$won)))

# Aggiungi titoli ed etichette degli assi
title(main = "Distribuzione di Densità delle Vittorie", xlab = "Numero di Vittorie", ylab = "Densità")

# Aggiungi una griglia di sfondo
grid()

# Aggiungi una linea di riferimento per la media
abline(v = mean(df$won), col = "red", lwd = 2)

# Aggiungi una legenda
legend("topright", legend = c("Media"), col = c("red"), lwd = 2)

# PLOT DENSITA INTERATTIVO DA TESTARE 


# Calcola la densità delle vittorie
density_plot <- density(df$won)

# Crea il plot di densità con plot_ly
density_interactive <- plot_ly(x = density_plot$x, y = density_plot$y, type = "scatter", mode = "lines", 
                               line = list(color = "skyblue", width = 2)) %>%
  layout(title = list(text = "Distribuzione di Densità delle Vittorie", x = 0.5),
         xaxis = list(title = "Numero di Vittorie"),
         yaxis = list(title = "Densità"),
         showlegend = FALSE) %>%
  add_trace(x = c(mean(df$won), mean(df$won)), y = c(0, max(density_plot$y)), 
            type = "scatter", mode = "lines", line = list(color = "red", width = 2),
            name = "Media") %>%
  add_trace(x = mean(df$won), y = max(density_plot$y), type = "scatter", mode = "markers", 
            marker = list(color = "red", size = 8)) %>%
  add_annotations(text = sprintf("Media: %.2f", mean(df$won)), x = mean(df$won), y = max(density_plot$y) * 1.05, 
                  arrowhead = 2, arrowcolor = "red", arrowsize = 1.5, arrowwidth = 2, 
                  ax = 0, ay = -40, xshift = 10, yshift = -10)

# Visualizza il plot di densità interattivo
density_interactive

## A line object has been specified, but lines is not in the mode
## Adding lines to the mode...

#CORRPLOT 

# # Calcola la matrice di correlazione
# M <- cor(as.matrix(df[, c(11:25, 54)]))
# 
# # Crea il grafico della matrice di correlazione
# corrplot(M, method = "color", outline = TRUE, type = "lower", order = "hclust",
#          tl.col = "black", tl.srt = 45, diag = FALSE, tl.cex = 0.7, mar = c(0, 0, 3, 0),
#          title = "Correlation Matrix between Predictor and Outcome variables",
#          addCoef.col = "black", number.cex = 0.5, tl.offset = 0.5)
# 
# # Aggiungi una legenda
# legend("bottomleft", legend = c("Positive Correlation", "Negative Correlation"), fill = c("white", "black"), border = NA, bty = "n", title = "Correlation")
# 

# CORRPLOT

data_subset <- df[, c(11:40, 54)]

cor_matrix <- cor(data_subset, use = "complete.obs")  

cor_data <- melt(cor_matrix)
names(cor_data) <- c("Variable1", "Variable2", "Correlation")

# Create the heatmap
p <- plot_ly(data = cor_data, x = ~Variable1, y = ~Variable2, z = ~Correlation, 
             type = "heatmap", 
             colors = viridis(n = 1024,  option = "magma"),
             hoverinfo = "x+y+z") %>% 
  layout(title = 'Correlation Matrix Heatmap',
         xaxis = list(tickangle = 45),
         yaxis = list(tickangle = 45),
         autosize = TRUE)

# cor_values <- round(as.matrix(cor_matrix), 2)  # Round for readability
# for (i in seq_len(nrow(cor_matrix))) {
#   for (j in seq_len(ncol(cor_matrix))) {
#     p <- p %>% add_annotations(
#       x = rownames(cor_matrix)[i],
#       y = colnames(cor_matrix)[j],
#       text = as.character(cor_values[i, j]),
#       showarrow = FALSE,
#       font = list(color = ifelse(cor_values[i, j] < 0.5, "white", "black"))
#     )
#   }
# }

(p)

#BOXPLOT

aggregated_data <- df %>%
  select(tmID, year, won) %>%
  group_by(tmID, year) %>%
  summarize(
    won = mean(won, na.rm = TRUE), 
  )

## `summarise()` has grouped output by 'tmID'. You can override using the
## `.groups` argument.

reshaped_data <- aggregated_data %>%
  pivot_longer(cols = c(won), names_to = "stat_type", values_to = "stat") %>%
  unite("new_col", tmID, stat_type, sep = "_") %>%
  pivot_wider(names_from = new_col, values_from = "stat")

fig <- plot_ly()


for (i in 2:ncol(reshaped_data)) {
    current_column_data <- reshaped_data[[i]]
    fig <- fig %>% add_trace(y = current_column_data, name = colnames(reshaped_data)[i], type = "box")
}


(fig)

## Warning: Ignoring 30 observations

## Warning: Ignoring 27 observations

## Warning: Ignoring 19 observations

## Warning: Ignoring 4 observations

## Warning: Ignoring 23 observations

## Warning: Ignoring 8 observations

## Warning: Ignoring 24 observations

## Warning: Ignoring 12 observations

## Warning: Ignoring 13 observations

## Warning: Ignoring 1 observations

## Warning: Ignoring 27 observations

## Warning: Ignoring 29 observations

## Warning: Ignoring 30 observations

## Warning: Ignoring 31 observations

## Warning: Ignoring 31 observations

## Warning: Ignoring 13 observations

## Warning: Ignoring 9 observations

## Warning: Ignoring 26 observations

## Warning: Ignoring 1 observations

## Warning: Ignoring 19 observations

## Warning: Ignoring 3 observations

## Warning: Ignoring 27 observations

## Warning: Ignoring 21 observations

## Warning: Ignoring 11 observations

df$reb <- df$o_reb + df$d_reb

TESTS DI VERIFICA

TEST ANDERSON-DARLING

ad.test(df$reb)

## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  df$reb
## A = 3.6997, p-value = 3.1e-09

Con un livello di significatività (\(\alpha\)) di 0.01 e un p-value molto piccolo (3.1e-09) ottenuto dal test di normalità di Anderson-Darling per i dati della variabile df$reb, puoi concludere che hai sufficiente evidenza statistica per respingere lipotesi nulla che i dati seguono una distribuzione normale.Con il tuo livello di significatività del 0.01 e il p-value molto piccolo (3.1e-09), il p-value è inferiore al livello di significatività, quindi respingeresti lipotesi nulla. Questo suggerisce che i dati nella variabile df$reb non seguono una distribuzione normale al livello di significatività del 0.01. In termini più pratici, hai abbastanza evidenza statistica per concludere che la variabile df$reb non segue una distribuzione normale basandoti sui risultati del test di Anderson-Darling.

TEST KOLMOGOROV SMIRNOV

ks.test(df$reb, "pnorm")

## Warning in ks.test.default(df$reb, "pnorm"): i legami non dovrebbero essere
## presenti per il test di Kolmogorov-Smirnov

## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  df$reb
## D = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided

Il risultato che hai ottenuto riguarda il test di Kolmogorov-Smirnov a campione singolo sui dati contenuti nella variabile df$reb. Il test KS confronta la distribuzione empirica dei tuoi dati con una distribuzione teorica (spesso una distribuzione uniforme). In breve, il risultato suggerisce che i tuoi dati non seguono la distribuzione teorica presunta, e cè un elevata probabilità che la differenza osservata sia statisticamente significativa.

TEST SHAPIRO WILK

sf.test(df$reb)

## 
##  Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  df$reb
## W = 0.98016, p-value = 1.758e-08

In sintesi, il risultato del test di Shapiro-Francia indica che i tuoi dati nella variabile df$reb non seguono una distribuzione normale. Questo è supportato dal valore basso del p-value, il quale suggerisce che la differenza tra la distribuzione dei tuoi dati e una distribuzione normale è statisticamente significativa.

INIZIALIZZAZIONE MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE

L’IMPORTANZA DEI RIMBALZI

\(\text{Formula1} = \frac{\text{Rimbalzi offensivi in attacco}}{\text{Tiri sbagliati su azione}}\) Rappresenta la capacità della squadra di ripossesso della palla dopo un tiro che non va a canestro e colpisce il tabellone.

\(\text{Formula2} = \frac{\text{Rimbalzi difensivi in difesa presi}}{\text{Tiri sbagliati su azione degli avversari}}\) Rappresenta la capacità della squadra di impossessarsi della palla dopo un tiro sbagliato della squadra avversaria che colpisce il tabellone, che troviamo un buon stimatore della capacità di contropiede della squadra.

\(\text{Formula3} = \frac{\text{Palle riprese in attacco} + 1.5 \times \text{Palle riprese in difesa}}{\text{Palle perse in attacco} + 2 \times \text{Rimbalzi subiti in difesa}}\) Rappresenta il rapporto tra le palle riprese nei rimbalzi (sia offensivi che difensivi) rispetto alle palle perse nei rimbalzi (sia offensivi che difensivi). I coefficienti sono stati scelti in base a ciò che riteniamo più importante in una partita, ossia la difesa del proprio canestro.

\(\text{Formula4} = (\text{Palle riprese in attacco - Palle perse in attacco}) + 1.5*(\text{Palle riprese in difesa - Palle perse in difesa})\) Cresce all’aumentare dei rimbalzi ottenuti e diminuisce all’aumentare dei rimbalzi subiti, considerando anche un coefficiente che da particolare importanza alla difesa.

\(\text{Formula5} = \frac{(\frac{\text{Rimbalzi subiti in difesa}}{\text{Palle perse in difesa}})}{(\frac{\text{Rimbalzi subiti in attacco}}{\text{Palle perse in attacco}})}\) Mostra quanto siano influenti i rimbalzi nel rapporto tra le palle perse dalla squadra e le palle perse dagli avversari.

# o_oreb = Rimbalzi ottenuti in attacco
# o_dreb = Rimbalzi subiti in attacco
# o_reb  = totale rimbalzi in attacco
# d_oreb = Rimbalzi subiti in difesa
# d_dreb = Rimbalzi ottenuti in difesa
# d_reb  = totale rimbalzi in difesa

df$f1 <- (df$o_oreb)/(df$o_fga-df$o_fgm)
df$f2 <- (df$d_dreb)/(df$d_fga-df$d_fgm)
df$f3 <- (df$o_oreb + 1.5 * df$d_dreb)/(df$o_dreb + 2 * df$d_oreb)
df$f4 <- (df$o_oreb - df$o_dreb) + 1.5 * (df$d_dreb - df$d_oreb)
df$f5 <- (df$d_oreb / df$d_to) / (df$o_dreb / df$o_to)


linMod <- lm(won ~ f1 + f2 + f3 + f4 + f5, data = df)
summary (linMod)

## 
## Call:
## lm(formula = won ~ f1 + f2 + f3 + f4 + f5, data = df)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -14.624  -3.796   0.044   3.243  17.608 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  395.45317   18.36490  21.533  < 2e-16 ***
## f1            83.35460   10.45130   7.976 4.99e-15 ***
## f2           -59.76252   13.37858  -4.467 9.02e-06 ***
## f3          -273.63124   15.89419 -17.216  < 2e-16 ***
## f4             0.03391    0.00415   8.171 1.13e-15 ***
## f5          -178.48989    3.87823 -46.024  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.985 on 835 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8401, Adjusted R-squared:  0.8392 
## F-statistic: 877.6 on 5 and 835 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Installa e carica le librerie necessarie
if (!requireNamespace("ggplot2", quietly = TRUE)) {
  install.packages("ggplot2")
}
if (!requireNamespace("gridExtra", quietly = TRUE)) {
  install.packages("gridExtra")
}
library(ggplot2)
library(gridExtra)

## Warning: il pacchetto 'gridExtra' è stato creato con R versione 4.3.2

## 
## Caricamento pacchetto: 'gridExtra'

## Il seguente oggetto è mascherato da 'package:dplyr':
## 
##     combine

# Funzione per creare il plot di Residuals vs Fitted (Residui vs. Valori Previsti)
res_vs_fitted <- ggplot(linMod, aes(.fitted, .resid)) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Residuals vs Fitted", x = "Fitted Values", y = "Residuals") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

# Funzione per creare il plot QQ dei Residui
qq_plot <- ggplot(linMod, aes(sample = .stdresid)) +
  stat_qq(color = "skyblue", size = 2) +
  stat_qq_line(color = "red", size = 1) +
  labs(title = "QQ Plot dei Residui", x = "Quantiles teorici", y = "Quantiles osservati") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot Scale-Location
scale_location_plot <- ggplot(linMod, aes(.fitted, sqrt(abs(.stdresid)))) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Scale-Location Plot", x = "Fitted Values", y = "sqrt(|Standardized Residuals|)") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot Residuals vs Leverage (Residui vs. Leverage)
res_vs_leverage <- ggplot(linMod, aes(.hat, .stdresid)) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Residuals vs Leverage", x = "Leverage", y = "Standardized Residuals") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Visualizza i quattro plot
grid.arrange(res_vs_fitted, qq_plot, scale_location_plot, res_vs_leverage, ncol = 2)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

#PLOT INTERATTIVI DA TESTARE

# Installa e carica le librerie necessarie
if (!requireNamespace("ggplot2", quietly = TRUE)) {
  install.packages("ggplot2")
}
if (!requireNamespace("gridExtra", quietly = TRUE)) {
  install.packages("gridExtra")
}
if (!requireNamespace("plotly", quietly = TRUE)) {
  install.packages("plotly")
}
library(ggplot2)
library(gridExtra)
library(plotly)

# Funzione per creare il plot di Residuals vs Fitted (Residui vs. Valori Previsti)
res_vs_fitted <- ggplot(linMod, aes(.fitted, .resid)) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Residuals vs Fitted", x = "Fitted Values", y = "Residuals") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot QQ dei Residui
qq_plot <- ggplot(linMod, aes(sample = .stdresid)) +
  stat_qq(color = "skyblue", size = 2) +
  stat_qq_line(color = "red", size = 1) +
  labs(title = "QQ Plot dei Residui", x = "Quantiles teorici", y = "Quantiles osservati") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot Scale-Location
scale_location_plot <- ggplot(linMod, aes(.fitted, sqrt(abs(.stdresid)))) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Scale-Location Plot", x = "Fitted Values", y = "sqrt(|Standardized Residuals|)") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot Residuals vs Leverage (Residui vs. Leverage)
res_vs_leverage <- ggplot(linMod, aes(.hat, .stdresid)) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Residuals vs Leverage", x = "Leverage", y = "Standardized Residuals") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Converti i singoli grafici in oggetti plotly
plotly_res_vs_fitted <- ggplotly(res_vs_fitted)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

plotly_qq_plot <- ggplotly(qq_plot)
plotly_scale_location_plot <- ggplotly(scale_location_plot)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

plotly_res_vs_leverage <- ggplotly(res_vs_leverage)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

# Visualizza i quattro grafici interattivi
subplot(plotly_res_vs_fitted, plotly_qq_plot, plotly_scale_location_plot, plotly_res_vs_leverage)

INIZIALIZZAZIONE MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE NORMALIZZATO

# In un chunk diverso per minimizzare cpu-time

# Normalizziamo le covariate
df$f1_z <- scale(df$f1)
df$f2_z <- scale(df$f2)
df$f3_z <- scale(df$f3)
df$f4_z <- scale(df$f4)
df$f5_z <- scale(df$f5)

linModNormalized <- lm(won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = df)

summary(linModNormalized)

## 
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = df)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -14.624  -3.796   0.044   3.243  17.608 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  41.0000     0.1719 238.505  < 2e-16 ***
## f1_z          2.6573     0.3332   7.976 4.99e-15 ***
## f2_z         -2.8564     0.6394  -4.467 9.02e-06 ***
## f3_z        -17.7693     1.0322 -17.216  < 2e-16 ***
## f4_z          9.1442     1.1191   8.171 1.13e-15 ***
## f5_z        -12.6019     0.2738 -46.024  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.985 on 835 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8401, Adjusted R-squared:  0.8392 
## F-statistic: 877.6 on 5 and 835 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Installa e carica le librerie necessarie
if (!requireNamespace("ggplot2", quietly = TRUE)) {
  install.packages("ggplot2")
}
if (!requireNamespace("gridExtra", quietly = TRUE)) {
  install.packages("gridExtra")
}
library(ggplot2)
library(gridExtra)

# Funzione per creare il plot di Residuals vs Fitted (Residui vs. Valori Previsti)
res_vs_fitted <- ggplot(linModNormalized, aes(.fitted, .resid)) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Residuals vs Fitted", x = "Fitted Values", y = "Residuals") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot QQ dei Residui
qq_plot <- ggplot(linModNormalized, aes(sample = .stdresid)) +
  stat_qq(color = "skyblue", size = 2) +
  stat_qq_line(color = "red", size = 1) +
  labs(title = "QQ Plot dei Residui", x = "Quantiles teorici", y = "Quantiles osservati") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot Scale-Location
scale_location_plot <- ggplot(linModNormalized, aes(.fitted, sqrt(abs(.stdresid)))) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Scale-Location Plot", x = "Fitted Values", y = "sqrt(|Standardized Residuals|)") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot Residuals vs Leverage (Residui vs. Leverage)
res_vs_leverage <- ggplot(linModNormalized, aes(.hat, .stdresid)) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Residuals vs Leverage", x = "Leverage", y = "Standardized Residuals") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Visualizza i quattro plot
grid.arrange(res_vs_fitted, qq_plot, scale_location_plot, res_vs_leverage, ncol = 2)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

#PLOT INTERATTIVI DA TESTARE

# Installa e carica le librerie necessarie
if (!requireNamespace("ggplot2", quietly = TRUE)) {
  install.packages("ggplot2")
}
if (!requireNamespace("gridExtra", quietly = TRUE)) {
  install.packages("gridExtra")
}
if (!requireNamespace("plotly", quietly = TRUE)) {
  install.packages("plotly")
}
library(ggplot2)
library(gridExtra)
library(plotly)

# Funzione per creare il plot di Residuals vs Fitted (Residui vs. Valori Previsti)
res_vs_fitted <- ggplot(linModNormalized, aes(.fitted, .resid)) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Residuals vs Fitted", x = "Fitted Values", y = "Residuals") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot QQ dei Residui
qq_plot <- ggplot(linModNormalized, aes(sample = .stdresid)) +
  stat_qq(color = "skyblue", size = 2) +
  stat_qq_line(color = "red", size = 1) +
  labs(title = "QQ Plot dei Residui", x = "Quantiles teorici", y = "Quantiles osservati") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot Scale-Location
scale_location_plot <- ggplot(linModNormalized, aes(.fitted, sqrt(abs(.stdresid)))) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Scale-Location Plot", x = "Fitted Values", y = "sqrt(|Standardized Residuals|)") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Funzione per creare il plot Residuals vs Leverage (Residui vs. Leverage)
res_vs_leverage <- ggplot(linModNormalized, aes(.hat, .stdresid)) +
  geom_point(color = "skyblue", alpha = 0.7, size = 3) +
  geom_smooth(se = FALSE, color = "red", method = "loess", size = 1) +
  labs(title = "Residuals vs Leverage", x = "Leverage", y = "Standardized Residuals") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"))

# Converti i singoli grafici in oggetti plotly
plotly_res_vs_fitted <- ggplotly(res_vs_fitted)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

plotly_qq_plot <- ggplotly(qq_plot)
plotly_scale_location_plot <- ggplotly(scale_location_plot)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

plotly_res_vs_leverage <- ggplotly(res_vs_leverage)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

# Visualizza i quattro grafici interattivi
subplot(plotly_res_vs_fitted, plotly_qq_plot, plotly_scale_location_plot, plotly_res_vs_leverage)

TEST SUL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE

TEST BREUSCH-PAGAN (Test di omoschedasticità)

# TEST SUL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE

#1 Summary
summary (linModNormalized)

## 
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = df)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -14.624  -3.796   0.044   3.243  17.608 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  41.0000     0.1719 238.505  < 2e-16 ***
## f1_z          2.6573     0.3332   7.976 4.99e-15 ***
## f2_z         -2.8564     0.6394  -4.467 9.02e-06 ***
## f3_z        -17.7693     1.0322 -17.216  < 2e-16 ***
## f4_z          9.1442     1.1191   8.171 1.13e-15 ***
## f5_z        -12.6019     0.2738 -46.024  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.985 on 835 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8401, Adjusted R-squared:  0.8392 
## F-statistic: 877.6 on 5 and 835 DF,  p-value: < 2.2e-16

#2 R-quadrato e R-quadrato Adattato
summary_linModNormalized <- summary(linModNormalized)
r_squared <- summary_linModNormalized$r.squared
cat("R-squared:", r_squared, "\n")

## R-squared: 0.8401246

n <- length(df$o_oreb)
k <- length(linModNormalized$coefficients) - 1
adjusted_r_squared <- 1 - ((1 - r_squared) * (n - 1) / (n - k - 1))
cat("Adjusted R-squared:", adjusted_r_squared, "\n")

## Adjusted R-squared: 0.8391672

#2 test Shapiro per valutare la normalita' dei residui
shapiro.test(residuals(linModNormalized))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(linModNormalized)
## W = 0.99508, p-value = 0.008216

#3 test di omoschedasticita' (Breusch-Pagan test) --> risultato suggerisce omoschedasiticita'
bptest(linModNormalized)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  linModNormalized
## BP = 9.6069, df = 5, p-value = 0.08717

#4 test di multicollinearita'
car::vif(linModNormalized)

##      f1_z      f2_z      f3_z      f4_z      f5_z 
##  3.751989 13.820282 36.007839 42.333607  2.534096

Possiamo ora verificare la presenza di outlayers, ovvero dati anomali o fuori norma che possono influenzare in modo molto significativo il modello rispetto al resto dei dati presi in cosiderazione. Provvediamo quindi a rimuoverli e a ricreare il modello.

influencePlot(linModNormalized,5)

##        StudRes         Hat       CookD
## 541  3.1086834 0.002953697 0.004722471
## 769 -0.3942749 0.044140265 0.001197642
## 822  3.6069525 0.027320444 0.060040657
## 957  2.9775866 0.024929163 0.037426310

#rimuovo gli outlayers e ricreo il modello
df_1 <- df[-which(row.names(df) %in% c(822, 957)),]

df_1$f1 <- (df_1$o_oreb)/(df_1$o_fga-df_1$o_fgm)
df_1$f2 <- (df_1$d_dreb)/(df_1$d_fga-df_1$d_fgm)
df_1$f3 <- (df_1$o_oreb + 1.5 * df_1$d_dreb)/(df_1$o_dreb + 2 * df_1$d_oreb)
df_1$f4 <- (df_1$o_oreb - df_1$o_dreb) + 1.5 * (df_1$d_dreb - df_1$d_oreb)
df_1$f5 <- (df_1$d_oreb / df_1$d_to) / (df_1$o_dreb / df_1$o_to)

df_1$f1_z <- scale(df_1$f1)
df_1$f2_z <- scale(df_1$f2)
df_1$f3_z <- scale(df_1$f3)
df_1$f4_z <- scale(df_1$f4)
df_1$f5_z <- scale(df_1$f5)

linModNormalized_1 <- lm(won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = df_1)

summary(linModNormalized)

## 
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = df)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -14.624  -3.796   0.044   3.243  17.608 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  41.0000     0.1719 238.505  < 2e-16 ***
## f1_z          2.6573     0.3332   7.976 4.99e-15 ***
## f2_z         -2.8564     0.6394  -4.467 9.02e-06 ***
## f3_z        -17.7693     1.0322 -17.216  < 2e-16 ***
## f4_z          9.1442     1.1191   8.171 1.13e-15 ***
## f5_z        -12.6019     0.2738 -46.024  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.985 on 835 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8401, Adjusted R-squared:  0.8392 
## F-statistic: 877.6 on 5 and 835 DF,  p-value: < 2.2e-16

summary(linModNormalized_1)

## 
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z, data = df_1)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -14.8618  -3.7270  -0.0235   3.2212  15.5573 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  41.0417     0.1700 241.386  < 2e-16 ***
## f1_z          2.4792     0.3322   7.462 2.15e-13 ***
## f2_z         -3.1936     0.6314  -5.058 5.21e-07 ***
## f3_z        -18.0997     1.0167 -17.803  < 2e-16 ***
## f4_z          9.6926     1.1055   8.767  < 2e-16 ***
## f5_z        -12.6741     0.2714 -46.698  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.925 on 833 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8432, Adjusted R-squared:  0.8423 
## F-statistic: 896.1 on 5 and 833 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Installa e carica le librerie necessarie
if (!requireNamespace("ggplot2", quietly = TRUE)) {
  install.packages("ggplot2")
}
if (!requireNamespace("ggfortify", quietly = TRUE)) {
  install.packages("ggfortify")
}
library(ggplot2)
library(ggfortify)

## Warning: il pacchetto 'ggfortify' è stato creato con R versione 4.3.2

# Crea il grafico di influenza
influence_plot <- influencePlot(linModNormalized_1, id = 5, main = "Influence Plot")

## Warning in applyDefaults(id, defaults = list(method = "noteworthy", n = 2, :
## unnamed id arguments, will be ignored

# Personalizza il grafico
#influence_plot +
#  theme_minimal() +  # Usa uno stile minimale
#  theme(plot.title = element_text(size = 16, face = "bold"),  # Titolo più grande e in grassetto
#        axis.title = element_text(size = 14),  # Etichette degli assi più grandi
#        axis.text = element_text(size = 12),   # Numeri degli assi più grandi
#        legend.position="none")  # Nascondi la legenda





# #INTERATTIVO DA TESTARE
# # Installa e carica le librerie necessarie
# if (!requireNamespace("car", quietly = TRUE)) {
#   install.packages("car")
# }
# if (!requireNamespace("plotly", quietly = TRUE)) {
#   install.packages("plotly")
# }
# library(car)
# library(plotly)
# 
# # Calcola l'influenza
# influence_values <- influence(linModNormalized_1)
# 
# # Estrai i valori influenti per l'osservazione desiderata (es. id=5)
# influence_values_single <- as.matrix(influence_values$infmat[5, ])
# 
# # Crea un grafico interattivo
# plot_ly(x = colnames(influence_values_single), y = influence_values_single,
#         type = "bar", name = "Influence", marker = list(color = "blue")) %>%
#   layout(title = "Influence Plot",
#          xaxis = list(title = "Variables"),
#          yaxis = list(title = "Influence"))

Nel complesso entrambi i modelli sembrano essere buoni, spiegano entrambi circa l’84% della varianza nella variabile dipendente “won”, anche se la rimozione degli otlayers ha migliorato leggermente i risultati.

Dato che la differenza tra i due modelli e’ molto ridotta (<0.5%), tale da essere trascurabile, abbiamo deciso di utilizzare il modello comprendente gli outlayers.

# Divisione in Test e Train per evitare che il modello fitti troppo bene sui nostri dati
sample <- sample(c(TRUE, FALSE), nrow(df), replace=TRUE, prob=c(0.7, 0.3))
train  <- df_reb[sample, ]
test   <- df_reb[!sample, ]

# METODO DI REGRESSIONE LASSO

#define response variable
y <- train$won

#define matrix of predictor variables (uso solo poche variabili ma potete farlo con tutte da togliere però la risposta area)
x <- data.matrix(train)

#perform k-fold cross-validation to find optimal lambda value, la cross-validation è un ottimo modo per non overfittare e trovare il miglior modello
cv_model <- cv.glmnet(x, y, alpha = 1)

#find optimal lambda value that minimizes test MSE
best_lambda <- cv_model$lambda.min
best_lambda

## [1] 0.364785

#produce plot of test MSE by lambda value
plot(cv_model) 

# Fittiamo il modello con il best lambda (penalizzazione)
best_model <- glmnet(x, y, alpha = 1, lambda = best_lambda)
coef(best_model)

## 8 x 1 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
##                    s0
## (Intercept) 1.1833088
## o_oreb      .        
## o_dreb      .        
## o_reb       .        
## d_oreb      .        
## d_dreb      .        
## d_reb       .        
## won         0.9708495

# SANDBOX TESTING
# QUI SI TESTA TUTTO CIÒ CHE POI VERRÀ AGGGIUNTO NEL DOCUMENTO SOPRA

values <- aggregate(cbind(o_oreb, o_dreb, d_oreb, d_dreb, o_reb, d_reb, won) ~ tmID, data = df, FUN = sum)

# temp <- hist (temp, col = 'steelblue', main = 'caccaculo', xlab = 'balls')

### SANDBOX


teams <- c()

df$reb <- c(df$o_reb + df$d_reb)

summary(df$reb)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    5963    6805    7002    7040    7245    8359

for (team in df$tmID)
{
  teams <- unique(c(teams, team))
}

teams <- sort(teams)

values <- aggregate(cbind(reb, o_oreb, o_dreb, d_oreb, d_dreb, o_reb, d_reb, won) ~ tmID, data = df, FUN = sum)

x <- seq(-4, 4, by = 0.01)
y <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1)
plot (x,y, type="l")

normal <- data.frame(x, y)

df$reb <- df$o_reb + df$d_reb

# ISTOGRAMMA INTERATTIVO

plot_ly(data = df, x = ~reb, type = "histogram",
        marker = list(color = 'lightblue', line = list(color = 'black', width = 1)),
        nbinsx = 20) %>% 
  layout(title = 'Istogramma dei Rimbalzi',
         xaxis = list(title = 'Rimbalzi'),
         yaxis = list(title = 'Frequenza'),
         shapes = list(type = "line", 
                       x0 = mean(df$reb), x1 = mean(df$reb),
                       y0 = 0, y1 = 215,
                       line = list(color = "red", width = 2, dash = "dash")),
         yaxis = list(autorange = TRUE))

#PLOT DI DENSITA CON SOVRAPPOSIZIONE DI UNA NORMALE IDEALE

density_data <- density(df$reb)
mu <- mean(df$reb)
sigma <- sd(df$reb)
normal_data <- dnorm(density_data$x, mean = mu, sd = sigma)

p <- plot_ly(x = density_data$x, y = density_data$y, type = 'scatter', mode = 'lines',
             line = list(color = 'blue', width = 2),
             name = "Densità rimbalzi totale") %>%
  layout(title = "Densità dei Rimbalzi",
         xaxis = list(title = "Rimbalzi"),
         yaxis = list(title = "Density", autotick = TRUE, autorange = TRUE))

p <- add_trace(p, x = density_data$x, y = normal_data, mode = 'lines',
               line = list(color = 'green', width = 2),
               fill = "tozeroy", fillcolor = "rgba(0, 255, 0, 0.2)",
               name = "Dist normale ideale")

p <- add_trace(p, x = c(mu, mu), y = c(0, max(density_data$y)),
               mode = 'lines', line = list(color = 'red', width = 2, dash = 'dash'),
               name = "Media")

(p)

# CORRPLOT

data_subset <- df[, c("reb", "o_reb", "d_reb")]
cor_matrix <- cor(data_subset)

rownames(cor_matrix) <- colnames(data_subset)
colnames(cor_matrix) <- colnames(data_subset)

cor_data <- reshape2::melt(cor_matrix)
names(cor_data) <- c("Var1", "Var2", "Corr")

dimnames(cor_matrix) <- list(rownames(cor_matrix), colnames(cor_matrix))
data_for_plotly <- as.data.frame(as.table(cor_matrix))

p <- plot_ly(data = cor_data, 
             x = ~Var1, 
             y = ~Var2, 
             z = ~Corr, 
             type = "heatmap", 
             colors = colorRampPalette(c("#4575b4", "#91bfdb", "#e0f3f8", "#fee08b", "#d73027"))(100),
             hoverinfo = "x+y+z") %>% 
  layout(title = 'Correlation Matrix',
         xaxis = list(title = "", tickangle = 45, side = "bottom", automargin = TRUE),
         yaxis = list(title = "", automargin = TRUE),
         autosize = TRUE)

cor_values <- round(as.matrix(cor_matrix), 2)  # Round for readability
for (i in seq_len(nrow(cor_matrix))) {
  for (j in seq_len(ncol(cor_matrix))) {
    p <- p %>% add_annotations(
      x = rownames(cor_matrix)[i],
      y = colnames(cor_matrix)[j],
      text = as.character(cor_values[i, j]),
      showarrow = FALSE,
      font = list(color = ifelse(cor_values[i, j] < 0.5, "white", "black"))
    )
  }
}

(p)

#BOXPLOT (1° Versione)

aggregated_data <- df %>%
  select(tmID, year, o_reb, d_reb) %>%
  group_by(tmID, year) %>%
  summarize(
    o_reb = mean(o_reb, na.rm = TRUE), 
    d_reb = mean(d_reb, na.rm = TRUE)
  )

## `summarise()` has grouped output by 'tmID'. You can override using the
## `.groups` argument.

reshaped_data <- aggregated_data %>%
  pivot_longer(cols = c(o_reb, d_reb), names_to = "stat_type", values_to = "stat") %>%
  unite("new_col", tmID, stat_type, sep = "_") %>%
  pivot_wider(names_from = new_col, values_from = "stat")

fig <- plot_ly()


for (i in 2:ncol(reshaped_data)) {
    current_column_data <- reshaped_data[[i]]
    fig <- fig %>% add_trace(y = current_column_data, name = colnames(reshaped_data)[i], type = "box")
}


#BOXPLOT (2° Versione)

# Creare categorie per i rimbalzi
df$reb_categories <- cut(df$reb, breaks = c(-Inf, 5, 10, 15, Inf), labels = c("0-5", "6-10", "11-15", "16+"))

# Convertire df$won in numeri
df$won <- as.numeric(as.character(df$won))

# Creare un boxplot con ggplot2
ggplot(df, aes(x = reb_categories, y = won, fill = reb_categories)) +
  geom_boxplot(color = "black", notch = FALSE) +
  labs(title = "Distribuzione delle Vittorie in base ai Rimbalzi",
       x = "Rimbalzi",
       y = "Vittorie") +
  theme_minimal()

#TEST ANDERSON-DARLING

ad.test(df$reb)

## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  df$reb
## A = 3.6997, p-value = 3.1e-09

#Con un livello di significatività (α) di 0.01 e un p-value molto piccolo (3.1e-09) ottenuto dal test di normalità di Anderson-Darling per i dati della variabile df\(reb, puoi concludere che hai sufficiente evidenza statistica per respingere lipotesi nulla che i dati seguono una distribuzione normale.Con il tuo livello di significatività del 0.01 e il p-value molto piccolo (3.1e-09), il p-value è inferiore al livello di significatività, quindi respingeresti lipotesi nulla. Questo suggerisce che i dati nella variabile df\)reb non seguono una distribuzione normale al livello di significatività del 0.01. In termini più pratici, hai abbastanza evidenza statistica per concludere che la variabile df$reb non segue una distribuzione normale basandoti sui risultati del test di Anderson-Darling.

#TEST KOLMOGOROV SMIRNOV

ks.test(df$reb, "pnorm")

## Warning in ks.test.default(df$reb, "pnorm"): i legami non dovrebbero essere
## presenti per il test di Kolmogorov-Smirnov

## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  df$reb
## D = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided

Il risultato che hai ottenuto riguarda il test di Kolmogorov-Smirnov a campione singolo sui dati contenuti nella variabile df$reb. Il test KS confronta la distribuzione empirica dei tuoi dati con una distribuzione teorica (spesso una distribuzione uniforme). In breve, il risultato suggerisce che i tuoi dati non seguono la distribuzione teorica presunta, e cè un elevata probabilità che la differenza osservata sia statisticamente significativa.

#TEST SHAPIRO WILK

sf.test(df$reb)

## 
##  Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  df$reb
## W = 0.98016, p-value = 1.758e-08

#In sintesi, il risultato del test di Shapiro-Francia indica che i tuoi dati nella variabile df$reb non seguono una distribuzione normale. Questo è supportato dal valore basso del p-value, il quale suggerisce che la differenza tra la distribuzione dei tuoi dati e una distribuzione normale è statisticamente significativa.

barplot(df$reb, col = c("#1b98e0", "#353436"))

heatmap_df <- subset(values, select = -c(o_oreb, o_dreb, d_oreb, d_dreb, won, reb))
rownames(heatmap_df) <- heatmap_df$tmID
heatmap_df <- heatmap_df[,-1]

heatmaply(
 heatmap_df,
 colors = viridis(n = 256,  option = "magma"),
 k_col = 2,
 k_row = 4,
)

plot_ly(values, x = ~tmID, y = ~o_reb, type = 'bar', name = 'Rimbalzi offensivi', marker = list(color = '#FFAFA1')) %>%
  add_trace(y = ~d_reb, name = 'Rimbalzi difensivi', marker = list(color = '#b2fff8')) %>%
  layout(yaxis = list(title = 'Valori'), barmode = 'stack')

#VARIABILI DUMMY

# VARIABILI DUMMY CON TEST ANOVA su ConferenceID

# Controlla i valori univoci nella colonna 'conference'
unique_conferences <- unique(df$confID)
print(unique_conferences)

## [1] "EC" "WC"

# Supponiamo che 'conference' sia la variabile categorica di interesse
df$conference <- as.factor(df$confID)

# Creazione di variabili dummy
dummy_vars <- model.matrix(~ df$confID - 1, data=df)  # -1 per evitare la colinearità

# Aggiunta delle variabili dummy al dataframe
df <- cbind(df, dummy_vars)

# Esecuzione di un test ANOVA
# Supponiamo che 'won' sia la variabile dipendente
anova(lm(df$won ~ df$confID, data=df))

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: df$won
##            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## df$confID   1    252  251.61  1.6295 0.2021
## Residuals 839 129548  154.41

# si tiene l'ipotesi nulla perchè la variabile correlazione non ha un effetto sulle vittorie. 
# Non Posso inserire a modello la variabile




# VARIABILI DUMMY CON TEST ANOVA su DivisionID

# Controlla i valori univoci nella colonna 'conference'
unique_conferences <- unique(df$divID)
print(unique_conferences)

## [1] "CD" "AT" "MW" "PC" "SE" "SW" "NW"

# Supponiamo che 'conference' sia la variabile categorica di interesse
df$conference <- as.factor(df$divID)

# Creazione di variabili dummy
dummy_vars <- model.matrix(~ df$divID - 1, data=df)  # -1 per evitare la colinearità

# Aggiunta delle variabili dummy al dataframe
df <- cbind(df, dummy_vars)

# Esecuzione di un test ANOVA
# Supponiamo che 'won' sia la variabile dipendente
anova(lm(df$won ~ df$divID, data=df))

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: df$won
##            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
## df$divID    6   2723  453.78  2.9782 0.006964 **
## Residuals 834 127077  152.37                    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

# si rifiuta l'ipotesi perchè la variabile divisione ha un effetto sulle vittorie. Posso inserire a modello la variabile

linModNormalized1 <- lm(won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + divID, data = df)
summary(linModNormalized1)

## 
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + divID, 
##     data = df)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -14.5087  -3.7310  -0.2418   3.2627  17.7887 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  41.0693     0.3623 113.356  < 2e-16 ***
## f1_z          2.7683     0.3338   8.294 4.39e-16 ***
## f2_z         -2.5867     0.6410  -4.035 5.95e-05 ***
## f3_z        -17.4386     1.0717 -16.273  < 2e-16 ***
## f4_z          8.6520     1.1528   7.505 1.58e-13 ***
## f5_z        -12.5564     0.2730 -45.998  < 2e-16 ***
## divIDCD      -0.3150     0.4995  -0.631   0.5285    
## divIDMW      -0.6553     0.5318  -1.232   0.2182    
## divIDNW      -1.7753     1.0766  -1.649   0.0995 .  
## divIDPC       0.7862     0.5098   1.542   0.1234    
## divIDSE      -1.8621     1.0808  -1.723   0.0853 .  
## divIDSW       2.1069     1.0993   1.917   0.0556 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.945 on 829 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8438, Adjusted R-squared:  0.8418 
## F-statistic: 407.2 on 11 and 829 DF,  p-value: < 2.2e-16

#EFFETTI INTERAZIONE

linModNormalized1 <- lm(won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + divID + f1_z:f2_z + f4_z:divID, data = df)
summary(linModNormalized1)

## 
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + divID + 
##     f1_z:f2_z + f4_z:divID, data = df)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -14.7588  -3.5284  -0.1167   3.2668  16.8359 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   40.7756     0.3810 107.009  < 2e-16 ***
## f1_z           2.6552     0.3340   7.950 6.16e-15 ***
## f2_z          -2.6926     0.6397  -4.209 2.84e-05 ***
## f3_z         -17.6878     1.0989 -16.096  < 2e-16 ***
## f4_z           8.2411     1.2243   6.731 3.15e-11 ***
## f5_z         -12.5192     0.2729 -45.872  < 2e-16 ***
## divIDCD       -0.2156     0.4998  -0.431  0.66630    
## divIDMW       -0.4261     0.5348  -0.797  0.42582    
## divIDNW       -1.7830     1.0962  -1.626  0.10423    
## divIDPC        0.8067     0.5097   1.583  0.11384    
## divIDSE       -1.7857     1.2263  -1.456  0.14575    
## divIDSW        2.2319     1.1597   1.925  0.05462 .  
## f1_z:f2_z     -0.4993     0.1764  -2.831  0.00475 ** 
## f4_z:divIDCD   1.1625     0.5271   2.205  0.02770 *  
## f4_z:divIDMW   1.4944     0.4977   3.003  0.00276 ** 
## f4_z:divIDNW   1.7033     1.5238   1.118  0.26395    
## f4_z:divIDPC   0.4753     0.4939   0.962  0.33614    
## f4_z:divIDSE   0.3874     1.2052   0.321  0.74795    
## f4_z:divIDSW  -0.2418     1.6248  -0.149  0.88176    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.911 on 822 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8473, Adjusted R-squared:  0.844 
## F-statistic: 253.4 on 18 and 822 DF,  p-value: < 2.2e-16

# f4 è indicatore che cresce all'aumentare dei rimbalzi ottenuti e diminuisce all'aumentare dei rimbalzi subiti.
# Interazione tra f4 e la divisione non è significativa, contrariamente al fatto che invece interazione tra f1 e f2 è significativo


# AGGIORNAMENTO Del modello lineare togliendo la seconda interazione

linModNormalized2 <- lm(won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + divID + f1_z:f2_z, data = df)

#test F, significatività singoli coefficienti, R^2

summary(linModNormalized2)

## 
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + divID + 
##     f1_z:f2_z, data = df)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -14.3485  -3.6885  -0.2249   3.0529  18.2413 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  40.7526     0.3810 106.955  < 2e-16 ***
## f1_z          2.7181     0.3332   8.158 1.26e-15 ***
## f2_z         -2.6976     0.6402  -4.214 2.79e-05 ***
## f3_z        -17.8375     1.0789 -16.533  < 2e-16 ***
## f4_z          9.1576     1.1651   7.860 1.20e-14 ***
## f5_z        -12.5511     0.2720 -46.136  < 2e-16 ***
## divIDCD      -0.1705     0.5009  -0.340  0.73363    
## divIDMW      -0.4737     0.5345  -0.886  0.37582    
## divIDNW      -1.5260     1.0772  -1.417  0.15696    
## divIDPC       0.8806     0.5094   1.729  0.08422 .  
## divIDSE      -1.8421     1.0771  -1.710  0.08760 .  
## divIDSW       2.1476     1.0956   1.960  0.05032 .  
## f1_z:f2_z    -0.4492     0.1727  -2.601  0.00946 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.928 on 828 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8451, Adjusted R-squared:  0.8429 
## F-statistic: 376.4 on 12 and 828 DF,  p-value: < 2.2e-16

#Nel complesso, il modello sembra ben adattato ai dati, spiegando una parte significativa della variazione nelle vittorie delle squadre di pallacanestro. La significatività delle variabili derivate (f1_z, f2_z, f3_z, f4_z, f5_z) e delle variabili dummy divID suggerisce che questi fattori sono importanti nella predizione del numero di vittorie. Il termine di interazione f1_z:f2_z è significativo, indicando che c'è un effetto sinergico tra le variabili f1_z e f2_z nella loro influenza sul numero di vittorie.

Può aiutare l’uso della POISSON?

linModNormalized2_pois = glm(won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + divID + f1_z:f2_z, family=poisson(link=log), data = df)
summary(linModNormalized2_pois)

## 
## Call:
## glm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + divID + 
##     f1_z:f2_z, family = poisson(link = log), data = df)
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  3.673408   0.012235 300.247  < 2e-16 ***
## f1_z         0.056118   0.010780   5.206 1.93e-07 ***
## f2_z        -0.088471   0.020809  -4.252 2.12e-05 ***
## f3_z        -0.507549   0.036027 -14.088  < 2e-16 ***
## f4_z         0.298790   0.038518   7.757 8.68e-15 ***
## f5_z        -0.326690   0.009074 -36.002  < 2e-16 ***
## divIDCD     -0.007013   0.015957  -0.440   0.6603    
## divIDMW     -0.028657   0.017160  -1.670   0.0949 .  
## divIDNW     -0.036591   0.035179  -1.040   0.2983    
## divIDPC      0.008163   0.016123   0.506   0.6127    
## divIDSE     -0.038462   0.035741  -1.076   0.2819    
## divIDSW      0.042715   0.032817   1.302   0.1931    
## f1_z:f2_z   -0.010771   0.005525  -1.950   0.0512 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 3362.04  on 840  degrees of freedom
## Residual deviance:  595.35  on 828  degrees of freedom
## AIC: 5248.2
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

normal = coefficients(linModNormalized2)
poisson = exp(coefficients(linModNormalized2_pois))

cbind(normal, poisson)

##                  normal    poisson
## (Intercept)  40.7526017 39.3858990
## f1_z          2.7180646  1.0577226
## f2_z         -2.6975972  0.9153300
## f3_z        -17.8374742  0.6019693
## f4_z          9.1575970  1.3482271
## f5_z        -12.5510548  0.7213074
## divIDCD      -0.1705107  0.9930112
## divIDMW      -0.4736569  0.9717494
## divIDNW      -1.5259888  0.9640706
## divIDPC       0.8805990  1.0081959
## divIDSE      -1.8421079  0.9622686
## divIDSW       2.1475512  1.0436400
## f1_z:f2_z    -0.4492010  0.9892864

#Considerazioni Generali:
#È importante notare che gli effetti delle variabili possono essere interpretati in modo diverso a seconda della distribuzione scelta per il modello. La scelta tra distribuzione normale e di Poisson dipende dalla natura della tua variabile dipendente e dai tuoi obiettivi di modellazione. Nel contesto di modelli di regressione, è sempre buona pratica verificare l'adeguatezza del modello esaminando i residui, eseguendo test diagnostici e valutando la bontà di adattamento. L'interpretazione dei coefficienti dovrebbe essere fatta considerando la scala appropriata per la distribuzione utilizzata (lineare per la normale, logaritmica per la Poisson). Se stai cercando di prevedere il numero di vittorie, la distribuzione di Poisson potrebbe essere più appropriata per variabili conteggio come questa. Tuttavia, è sempre necessario verificare l'adeguatezza del modello ai dati specifici.